Question

15．在二項(xiàng)式（x-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)（x-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為p，展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為q，求p+q．

Answer 1

分析 先求出n，可得通項(xiàng)公式．
（I）因?yàn)閚=8，所有展開(kāi)式共有9項(xiàng)，所以第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；
（II）令8-$\frac{4r}{3}$=0得r=6，所以常數(shù)項(xiàng)是T₇=$\frac{7}{16}$，即p=$\frac{7}{16}$．令x=1，可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和，即可得出結(jié)論．

解答 解：前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值分別是1，$\frac{n}{2}$，$\frac{n（n-1）}{8}$．
由題設(shè)可知：2×$\frac{n}{2}$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，
整理得：n²-9n+8=9，解得n=8或n=1（舍去）．
通項(xiàng)公式是T_r+1=C₈^r（-$\frac{1}{2}$）^r${x}^{8-\frac{4r}{3}}$．
（I）因?yàn)閚=8，所有展開(kāi)式共有9項(xiàng)，所以第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是C₈⁴（-$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{35}{8}$．
（II）令8-$\frac{4r}{3}$=0得r=6，所以常數(shù)項(xiàng)是T₇=$\frac{7}{16}$，即p=$\frac{7}{16}$．
令x=1，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（$\frac{1}{2}$）⁸=$\frac{1}{256}$，即q=$\frac{1}{256}$．
所以，p+q=$\frac{113}{256}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定展開(kāi)式的通項(xiàng)是關(guān)鍵．