Question

12．已知數列{a_n}的通項公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}，n≤100}\\{3-（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}），n＞100}\end{array}\right.$，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=2．

Answer 1

分析 求出當n≤100時，n＞100時，運用等比數列的求和公式可得a_n，再由數列極限的運算性質，即可得到所求值．

解答 解：當n≤100時，a_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
當n＞100時，a_n=3-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=2+$\frac{1}{{2}^{n}}$．
$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$（2+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=2+$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n}}$=2+0=2．
故答案為：2．

點評 本題考查數列的極限的求法，考查等比數列的求和公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．