Question

19．已知f（x）=-2sin²x-asinx+b的最大值為0，最小值為-4，且a＞0，求a，b的值．

Answer 1

分析 令t=sinx（-1≤t≤1）換元，然后分類利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值，得到關(guān)于a，b的方程組得答案．

解答 解：令t=sinx（-1≤t≤1），
則函數(shù)f（x）=-2sin²x-asinx+b化為：
g（t）=-2t²-at+b，
對(duì)稱軸方程為t=$-\frac{a}{4}$＜0，
當(dāng)$-\frac{a}{4}$≤-1，即a≥4時(shí)，函數(shù)g（t）在[-1，1]上為減函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=-2+a+b=0}\\{g（1）=-2-a+b=-4}\end{array}\right.$，解得a=2，b=0，舍去；
當(dāng)-1＜$-\frac{a}{4}$＜0，即0＜a＜4時(shí)，函數(shù)g（t）在[-1，1]上先增后減，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（-\frac{a}{2}）=-2×（-\frac{a}{2}）^{2}-a×（-\frac{a}{2}）+b=0}\\{g（1）=-2-a+b=-4}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=0．
綜上，a=2，b=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，是中檔題．