Question

3．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為4，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC₁上的動(dòng)點(diǎn)（異于C點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)A、P、Q的平面截面記為M．
則當(dāng)CQ∈（0，2]時(shí)（用區(qū)間或集合表示），M為四邊形；　
當(dāng)CQ=2時(shí)（用數(shù)值表示），M為等腰梯形；
當(dāng)CQ=4時(shí)，M的面積為8$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 作出圖形，可分析出當(dāng)CQ∈（0，2]時(shí)，M為四邊形；當(dāng)Q為CC₁的中點(diǎn)時(shí)M為等腰梯形；當(dāng)CQ=4時(shí)，取A₁D₁的中點(diǎn)F，可知截面為APC₁F為菱形，從而可求M的面積．

解答 解：∵CC₁=4，∴當(dāng)CQ∈（0，2]時(shí)，M為四邊形（見(jiàn)圖）；

當(dāng)Q為CC₁的中點(diǎn)，即CQ=2時(shí)，PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
M為等腰梯形APQD₁；
當(dāng)CQ=4時(shí)，Q與C₁重合（如圖），

取A₁D₁的中點(diǎn)F，連接AF，C₁F，AP，PC₁，則PC₁∥AF，且PC₁=AF，
所以截面為APC₁F為菱形，故其面積為：S=$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{6}$．
故答案為：（0，2]；2；8$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考作出圖形是分析解決問(wèn)題的關(guān)鍵，查作圖與推理能力運(yùn)算能力，屬于中檔題．