Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，且滿足a（sinA-$\frac{sinB}{2}$）+b（sinB-$\frac{sinA}{2}$）=csinC，則sinC的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{4}$

Answer 1

分析 利用正弦定理把條件中的邊角關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，利用余弦定理可求cosC，進而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值．

解答 解：在△ABC中，∵a（sinA-$\frac{sinB}{2}$）+b（sinB-$\frac{sinA}{2}$）=csinC，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，可得：a（$\frac{a}{2R}$-$\frac{4R}$）+b（$\frac{2R}$-$\frac{a}{4R}$）=c$\frac{c}{2R}$，即：（2a-b）a+（2b-a）b=2c²，
∴a²+b²-c²=ab，
∵由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．