Question

1．已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P垂直于y軸的直線交y軸于點(diǎn)Q，M為線段QP的中點(diǎn)．
（1）求橢圓C短軸長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率列出方程組，由此能求出橢圓的短軸長(zhǎng)．
（2）由知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，設(shè)P（x₀，y₀），M（x，y），利用代入法能求出點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）∵橢圓C的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，c=2，
∴橢圓C短軸長(zhǎng)2b=4，．
（2）由（1）知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
設(shè)P（x₀，y₀），M（x，y），
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，$x=\frac{{x}_{0}}{2}$，y=y₀，
代入，得$\frac{（2x）^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
整理，得$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的短軸長(zhǎng)的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．