Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，則其以點P（2，1）為中點的弦的直線方程是x+y-3=0．

Answer 1

分析 設其以點P（2，1）為中點的弦與橢圓C交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點差法能求出以點P（2，1）為中點的弦的直線方程．

解答 解：∵橢圓$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，
設其以點P（2，1）為中點的弦與橢圓C交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程，得：
$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=8}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8}\end{array}\right.$，
兩式相減，得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1，
∴以點P（2，1）為中點的弦的直線方程為：y-1=-（x-2），
整理，得：x+y-3=0．
故答案為：x+y-3=0．

點評 本題考查橢圓的中點弦方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．