Question

如圖，將邊長為2的正六邊形ABDEF沿對角線BE翻折，連接AC、FD，形成如圖所示的多面體，且AC=

6

．
（1）證明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)AC、BE，交點為G，由邊長為2的正六邊形ABCDEF的性質(zhì)得AC⊥BE，且AG=CG=

3

，由勾股定理得AG⊥GC，從而AG⊥平面BCDE，由此能證明平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）連結(jié)AE，CE，則AG為三棱錐A-BCE的高，GC為△BCE的高，利用V_E-ABC=V_A-BCE，能求出三棱錐E-ABC的體積．

解答： （1）證明：正六邊形ABCDEF中，連結(jié)AC、BE，交點為G，
由邊長為2的正六邊形ABCDEF的性質(zhì)得AC⊥BE，且AG=CG=

3

，
在多面體中，由AC=

6

，得AG²+CG²=AC²，
∴AG⊥GC，
又GC∩BE=G，GC，BE?平面BCDE，
∴AG⊥平面BCDE，
又AG?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）解：連結(jié)AE，CE，則AG為三棱錐A-BCE的高，GC為△BCE的高，
在正六邊形ABCDEF中，BE=2AF=4，
∴S△BCE=

1

2

×4×

3

=2

3

，
∴V_E-ABC=V_A-BCE=

1

3

×2

3

×

3

=2．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面垂直的證明、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．