Question

20．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AE=1，AB=2，CD=3，E，F(xiàn)分別為AB，CD上的點，以EF為軸將正方形ADFE向上翻折，使平面ADFE與平面BEFC垂直如圖2．
（1）求證：平面BDF⊥平面BCD；
（2）求多面體AEBDFC的體積．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥BF．推出平面ADFE⊥平面BEFC，說明DF⊥BC，然后證明平面BDF⊥平面BCD．
（2）多面體AEBDFC可分為四棱錐B-AEFD和三棱錐B-DFC，利用幾何體的體積公式求解即可．

解答 解：（1）由題可知，$FB=BC=\sqrt{2}，F(xiàn)C=2$，
∴BC⊥BF．又∵DF⊥EF，平面ADFE⊥平面BEFC，
∴DF⊥平面BEFC，
∴DF⊥BC，
∴BC⊥平面BDF，
∴平面BDF⊥平面BCD．

（2）多面體AEBDFC可分為四棱錐B-AEFD和三棱錐B-DFC
，${V_{四棱錐B-AEFD}}=\frac{1}{3}•{S_{正方圖AEFD}}•EB=\frac{1}{3}$，${V_{三棱錐B-DFC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}DF•FC•EF=\frac{1}{3}$，
則多面體AEBDFC的體積為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．