Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集；
（2）若{x|f（x）≥t²-t}∩{x}1≤x≤2}≠∅，求實數(shù)t的范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值的意義求得不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集．
（2）由題意可得當1≤x≤2時，不等式f（x）≥t²-t能成立，求得f（x）的最大值，再根據(jù)最大值大于或等于t²-t，求得t的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-1|-|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1對應(yīng)點的距離減去它到2對應(yīng)點的距離，
而$\frac{7}{4}$對應(yīng)點到1對應(yīng)點的距離減去它到2對應(yīng)點的距離正好等于$\frac{1}{2}$，故不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集為{x|x＞$\frac{7}{4}$}．
（2）若{x|f（x）≥t²-t}∩{x}1≤x≤2}≠∅，
則當1≤x≤2時，不等式f（x）≥t²-t能成立，此時，-1≤f（x）≤1，∴1≥t²-t，
求得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤t≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，屬于中檔題．