Question

20．（Ⅰ）已知非零常數(shù)a、b滿足$a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}$，求不等式|-2x+1|≥ab的解集；
（Ⅱ）若?x∈[1，2]，x-|x-a|≤1恒成立，求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出ab=1，問題轉(zhuǎn)化為|-2x+1|≥1，解出即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為（a-1）（a-2x+1）≥0，通過討論a的范圍求出不等式的解集，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（I）由已知$a+b=\frac{a+b}{ab}$，
∵a、b不為0，∴ab=1，或a+b=0，
①ab=1時，原不等式相當于|-2x+1|≥1，
所以，-2x+1≥1或-2x+1≤-1，
解得：{x|x≤0或x≥1}，
②a+b=0時，a，b異號，ab＜0，
不等式|-2x+1|≥ab的解集是R；
（Ⅱ）由已知得，|x-a|≥x-1≥0，
（x-a）²≥（x-1）²，（a-1）（a-2x+1）≥0，
a=1時，（a-1）（a-2x+1）≥0恒成立，
a＞1時，由（a-1）（a-2x+1）≥0得，a≥2x-1，從而a≥3，
a＜1時，由（a-1）（a-2x+1）≥0得，a≤2x-1，從而a≤1，
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，1]∪[3，+∞）．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．