Question

7．如圖，已知拋物線C以坐標原點O為頂點，焦點F在x軸的正半軸上，且|OF|=$\frac{1}{2}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過定點N（x₀，y₀）的動直線l與拋物線C相交于A、B兩點（A、B異于點O），設OA、OB的傾斜角分別為α、β，若α+β（α+β∈（0，π））為定值，求x₀的值．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線的幾何性質得p=2|0F|=2×$\frac{1}{2}$=1，問題得以解決；
（2））設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l的方程為y-y₀=k（x-x₀），與拋物線方程聯(lián)立，根據韋達定理表示出y₁+y₂，y₁•y₂，分若a+β≠$\frac{π}{2}$，和若a+β=$\frac{π}{2}$，求得直線方程，進而求出N（x₀，y₀）的值．

解答 解：（1）根據題意，設拋物線的方程為y²=2px，（p＞0），
∴根據拋物線的幾何性質得p=2|0F|=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴拋物線C的方程是y²=2x，
（2）當直線l斜率不存在時，A，B關于x軸對稱，
此時α+β=π，不符合題意，
設l的方程為y-y₀=k（x-x₀），（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x=$\frac{1}{k}$（y-y₀）+x₀，代入y²=2x，
得y²-$\frac{2}{k}$y+2（$\frac{1}{k}$y₀-x₀）=0，
∴y₁y₂=2（$\frac{{y}_{0}}{k}$-x₀），y₁+y₂=$\frac{2}{k}$，①
由題意知α，β均不為$\frac{π}{2}$，即tanα=k₁，tanβ=k₂，
（i）若a+β≠$\frac{π}{2}$，則tan（α+β）=$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{1-{k}_{1}{k}_{2}}$，
又k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}}$=$\frac{2}{{y}_{1}}$，k₂=$\frac{2}{{y}_{2}}$，代入上式得，tan（α+β）=$\frac{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}{y}_{2}-4}$，②，
將①代入②，化簡得tan（α+β）=$\frac{2}{{y}_{0}-（{x}_{0}+2）k}$，
∵上式左邊是定值，且y₀，x₀為定值，k是變量，
∴x₀+2=0，即x₀=-2，
（ii）若a+β=$\frac{π}{2}$，則tanαtanβ=1，即k₁k₂=1，
∵k₁k₂=$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2}{\frac{{y}_{0}}{k}-{x}_{0}}$，
∴$\frac{{y}_{0}}{k}$-x₀=2，即y₀-（x₀+2）k=0，
∴x₀=-2，y₀=0，
∴綜上可知，符合題目的點N的橫坐標為x₀=-2．

點評 本題主要考查了求軌跡方程的問題．涉及直線的拋物線的關系，常需要聯(lián)立方程根據韋達定理找到解決問題的突破口，屬于中檔題．