Question

7．已知非常數(shù)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，且有a_n＞0，${S_n}=\frac{1}{4}（{a_n}^2+4n-1）$
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{2}{{{a_n}•{a_{n-1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)n和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推式可得a_n+a_n-1=2或a_n-a_n-1=2，通過分類討論即可得出；
（II）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（I）∵a_n＞0，${S_n}=\frac{1}{4}（{a_n}^2+4n-1）$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}^{2}+4-1）$，解得a₁=1或3．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}^{2}+4n-1）$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}^{2}+4n-5）$，
化為（a_n+a_n-1-2）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n+a_n-1=2或a_n-a_n-1=2，
①若a_n+a_n-1=2，當(dāng)a₁=1時(shí)，可得a_n=1，（n∈N^*），數(shù)列{a_n}為常數(shù)數(shù)列，舍去；當(dāng)a₁=3時(shí)，可得a₂=-1，與a_n＞0矛盾，舍去；
②若a_n-a_n-1=2，當(dāng)a₁=1時(shí)，可得a_n=2n-1，（n∈N^*），滿足題意．當(dāng)a₁=3時(shí)，可得a_n=2n+1，（n∈N^*），滿足題意．
綜上可得：a_n=2n±1，（n∈N^*）．
（II）當(dāng)a_n=2n-1，${b_n}=\frac{2}{{{a_n}•{a_{n-1}}}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$=$\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$，
則數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)n和T_n=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$=1-$\frac{1}{2n-1}$=$\frac{2n-2}{2n-1}$．
同理可得：當(dāng)a_n=2n+1，${b_n}=\frac{2}{{{a_n}•{a_{n-1}}}}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，則數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)n和T_n=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類討論方法、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．