Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n+a_n=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1（n∈N^*）
（1）設(shè)b_n=a_n+n，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若${c_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}-{a_n}$，d_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{c_n}^2}}+\frac{1}{{{c_{n+1}}^2}}}$，P=d₁+d₂+d₃+…+d₂₀₁₅，求不超過P的最大整數(shù)的值．

Answer 1

分析 （1）需要分類討論：n=1和n≥2兩種情況．當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)已知條件易求得2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a _n-1+n-1，依此可以求得{b_n}的首項(xiàng)和公比；
（2）根據(jù)（1）的解題過程可以得到：a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n，則${c_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}-{a_n}$=c，然后對d_n進(jìn)行化簡，進(jìn)而求得P=2014-$\frac{1}{2014}$．

解答 解：（1）因?yàn)镾_n+a_n=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1（n∈N^*）
所以①當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=-1，則a₁=-$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1，
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a _n-1+n-1，
所以b_n=$\frac{1}{2}$b _n-1（n≥2），
而b₁=a₁+1=$\frac{1}{2}$所以數(shù)列數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，所以b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ
（2）由（1）知a_n=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ-n，
∴c_n=n，
而d_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+（n+1）^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}}$=$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
所以P=（1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（1+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）=2014-$\frac{1}{2015}$，
故不超過P的最大整數(shù)為2013．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．解答（1）題時(shí)要分類討論，解答（2）題時(shí)利用了裂項(xiàng)法．