Question

17．已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正，且a₁=1，a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0（n∈N^*）
（1）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由于數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正，且a₁=1，a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0（n∈N^*），可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，即b_n+1-b_n=1．即可證明．
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正，且a₁=1，a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，即b_n+1-b_n=1．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1；
（2）解：由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n．
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n項(xiàng)和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．