Question

14．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），直線l過點(diǎn) A（a，0），B（0，b），該雙曲線的左焦點(diǎn)F₁到直線l的距離等于該雙曲線的短軸長的$\frac{2}{3}$．
（1）求該雙曲線的離心率；
（2）若點(diǎn)F₁到左準(zhǔn)線的距離與它到漸近線的距離和是$\frac{16}{3}$+4$\sqrt{2}$，求該雙曲線．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的左焦點(diǎn)F₁到直線l的距離等于該雙曲線的短軸長的$\frac{2}{3}$，建立方程，即可求該雙曲線的離心率；
（2）利用點(diǎn)F₁到左準(zhǔn)線的距離與它到漸近線的距離和是$\frac{16}{3}$+4$\sqrt{2}$，結(jié)合離心率，建立方程，即可求該雙曲線的方程．

解答 解：（1）直線l的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，即bx+ay-ab=0，
∵雙曲線的左焦點(diǎn)F₁到直線l的距離等于該雙曲線的短軸長的$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{|-bc-ab|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{2}{3}•2b$，
∴e=$\frac{c}{a}$=3；
（2）∵點(diǎn)F₁到左準(zhǔn)線的距離與它到漸近線的距離和是$\frac{16}{3}$+4$\sqrt{2}$，
∴c-$\frac{{a}^{2}}{c}$+b=$\frac{16}{3}$+4$\sqrt{2}$，
∵c=3a，b=2$\sqrt{2}$a，
∴3a-$\frac{1}{3}$a+2$\sqrt{2}$a=$\frac{16}{3}$+4$\sqrt{2}$，
∴a=2，
∴b=4$\sqrt{2}$，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{32}=1$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確建立方程是關(guān)鍵．