Question

19．已知A、B、C為銳角△ABC的內(nèi)角，且2tanB=tanA+tanC，f（cos2C）=$\frac{ta{n}^{2}A}{9}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（tanB）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得：tan²C=$\frac{9}{ta{n}^{2}A}$，由倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式可得f（cos2C）=$\frac{1+cos2C}{1-cos2C}$，從而解得f（x）的解析式．
（2）由（1）可得：f（tanB）=$\frac{1+tanB}{1-tanB}$=tan（B+$\frac{π}{4}$），結(jié)合范圍$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得f（tanB）的最小值．

解答 解：（1）∵A、B、C為銳角△ABC的內(nèi)角，且2tanB=-2tan（A+C）=-2×$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=tanA+tanC，
∴解得：tanC=$\frac{3}{tanA}$，即：tan²C=$\frac{9}{ta{n}^{2}A}$，
∴f（cos2C）=$\frac{ta{n}^{2}A}{9}$=$\frac{1}{ta{n}^{2}C}$=$\frac{co{s}^{2}C}{si{n}^{2}C}$=$\frac{\frac{1+cos2C}{2}}{\frac{1-cos2C}{2}}$=$\frac{1+cos2C}{1-cos2C}$．
∴可得：f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，（x≠1）．
（2）∵由（1）可得：f（tanB）=$\frac{1+tanB}{1-tanB}$=tan（B+$\frac{π}{4}$），
又∵0$＜B＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)B+$\frac{π}{4}$→$\frac{π}{2}$⁺時(shí)，即B→$\frac{π}{4}$⁺時(shí)，f（tanB）=tan（B+$\frac{π}{4}$）→-∞，無(wú)最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正切函數(shù)公式，倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．