Question

1．已知數(shù)列{a_n}中各項都不為零，且a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3+2{a}_{n}}$
（1）證明：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{2}+1}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{3}+1}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式取倒數(shù)，然后變?yōu)?\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=3（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比數(shù)列，求其通項公式后可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，整理后利用等比數(shù)列求$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{2}+1}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{3}+1}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，放大后得答案．

解答 證明：（1）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3+2{a}_{n}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+2$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=3（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}+1=2≠0$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是公比為3的等比數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2•3^n-1，即${a}_{n}=\frac{1}{2•{3}^{n-1}-1}$；
（2）∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}=\frac{\frac{1}{2•{3}^{n-1}-1}}{\frac{1}{2•{3}^{n-1}-1}+1}$=$\frac{1}{2•{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{2}+1}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{3}+1}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{3}^{0}}+\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}）$
=$\frac{1}{2}•\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）＜\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項和的求法，是中檔題．