Question

16．設(shè){a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n、a_n+1是方程x²-c_nx+（$\frac{1}{3}$）ⁿ=0的兩根，且a₁=2，求無(wú)窮數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)之和．

Answer 1

分析 通過(guò)韋達(dá)定理可知a_n•a_n+1=$\frac{1}{{3}^{n}}$，并與a_n+1•a_n+2=$\frac{1}{{3}^{n+1}}$作商可知數(shù)列{a_2n-1}、{a_2n}是首項(xiàng)分別為2、$\frac{1}{6}$，公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，進(jìn)而分別計(jì)算出$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）與$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）+（a_2n+a_2n+1）的值即得結(jié)論．

解答 解：依題意，由韋達(dá)定理可知：a_n+a_n+1=c_n，a_n•a_n+1=$\frac{1}{{3}^{n}}$，
又∵a_n+1•a_n+2=$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}•{a}_{n+2}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$，
又∵a₁=2，a₂=$\frac{1}{3{a}_{1}}$=$\frac{1}{6}$，
∴數(shù)列{a_2n-1}、{a_2n}是首項(xiàng)分別為2、$\frac{1}{6}$，公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
又∵$\underset{lim}{n→∞}$a_n=0，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=2$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）+2$\underset{lim}{n→∞}$（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）-$\underset{lim}{n→∞}$（a_2n+a₁）
=2$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$+2$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1}{6}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\underset{lim}{n→∞}$（a_2n+2）
=2$\underset{lim}{n→∞}$3（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）+2$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\underset{lim}{n→∞}$（a_2n+2）
=6+$\frac{1}{2}$-2
=$\frac{9}{2}$，
同理可得$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）+（a_2n+a_2n+1）=$\frac{9}{2}$，
綜上所述，所求值為$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．