Question

5．已知a_n=2n（n∈N⁺），則a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=$\frac{4n（n+1）（n+2）}{3}$．

Answer 1

分析 通過a_n=2n（n∈N⁺）可知a_na_n+1=4n²+4n，進(jìn)而利用分組法求和計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=2n（n∈N⁺），
∴a_na_n+1=4n（n+1）=4n²+4n，
又∵$\sum_{i=1}^{n}$i²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
∴a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=4•$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$+4•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{2n（n+1）（2n+1）}{3}$+2n（n+1）
=$\frac{4n（n+1）（n+2）}{3}$，
故答案為：$\frac{4n（n+1）（n+2）}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．