Question

18．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PBC經(jīng)過圓心O，PB=1，PA=$\sqrt{3}$，OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OD，則PD的長為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 法一：如圖根據(jù)題設(shè)條件可求得角DOP的大小，由于OD=1，OP=2，由余弦定理求長度即可．
法二：由圖形知，若能求得點(diǎn)D到線段OC的距離DE與線段OE的長度，在直角三角形PED中用勾股定理求PD即可．

解答 解法一：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，B為PO中點(diǎn)，
∴AB=OB=OA，
∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，
在△POD中由余弦定理，
得：PD²=PO²+DO²-2PO•DOcos∠POD=4+1-4×（-$\frac{1}{2}$）=7，
∴PD=$\sqrt{7}$．
解法二：過點(diǎn)D作DE⊥PC垂足為E，
∵∠POD=120°，
∴∠DOC=60°，
可得OE=$\frac{1}{2}$，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△PED中，有PD=$\sqrt{P{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{3}{4}}$=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是與圓有關(guān)的比例線段，本題考查求線段的長度，平面幾何中求線段長度一般在三角形中用正弦定理與余弦定理求解，做題后要注意總結(jié)方法選取的規(guī)律．