Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的圖象與直線 y=-3x+8相切于點(diǎn)P（2，2）．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù) f （x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（2），由f′（2）=-3，且f（2）=2聯(lián)立方程組求得a，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）分別由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求得原函數(shù)的增區(qū)間及減區(qū)間，即可求出函數(shù) f （x）的極值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的圖象與直線y=-3x+8相切于點(diǎn)P（2，2），
∴f'（2）=-3，f（2）=2．
∵f'（x）=3x²+2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}8+4a+2b=2\\ 3×{2^2}+2a×2+b=-3\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-6\\ b=9\end{array}\right.$．
（2）由（1）可知f（x）=x³-6x²+9x，
∴f'（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）=0，得x=1或x=3
令f'（x）＞0，得x＜1或x＞3； 令f'（x）＜0，得1＜x＜3．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（3，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（1）=4，
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（3）=0．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，是中檔題．