20.如圖,將矩形ABCD沿對(duì)角線BD把△ABD折起,使A點(diǎn)移到A1點(diǎn),且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
(Ⅰ)求證:BC⊥A1D;
(Ⅱ)求證:平面A1CD⊥平面A1BC;
(Ⅲ)若AB=10,BC=6,求三棱錐A1-BCD的體積.

分析 ((I)證明BC⊥A1O.推出BC⊥平面A1CD.通過直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明BC⊥A1D.
(II)證明A1D⊥A1B.推出A1D⊥平面A1BC.然后證明平面A1BC⊥平面A1CD.
(III)利用${V}_{{A}_{1}-BCD}={V}_{D-{A}_{1}BC}$,求出底面面積與高,即可求出幾何體的體積.

解答 (共14分)
解:(I)因?yàn)锳1在平面BCD上的射影O在CD上,
所以A1O⊥平面BCD.
又BC?平面BCD,
所以BC⊥A1O.
又BC⊥CO,CO∩A1O=O,CO?平面A1CD,A1O?平面A1CD,
所以BC⊥平面A1CD.
又A1D?平面A1CD,
所以BC⊥A1D.(5分)
(II)因?yàn)榫匦蜛BCD,
所以A1D⊥A1B.
由(I)知BC⊥A1D.
又BC∩A1B=B,BC?平面A1BC,A1B?平面A1BC,
所以A1D⊥平面A1BC.
又A1D?平面A1CD,
所以平面A1BC⊥平面A1CD.(10分)
(III)因?yàn)锳1D⊥平面A1BC,
所以A1D⊥A1C.
因?yàn)镃D=10,A1D=6,所以A1C=8.
所以${V_{{A_1}-BCD}}={V_{D-{A_1}BC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×8×6=48$.(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)嗎,平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,幾何體的體積的求法,考查邏輯推理以及計(jì)算能力.

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