Question

4．設f（x）的定義域為[-3，3]，且f（x）是奇函數(shù)．當x∈[0，3]時，f（x）=x（1-3^x），
（1）求當x∈[-3，0）時，f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＜-8x．
（3）記P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c²）}，若P∩Q=∅，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合當x∈[0，3]時，f（x）=x（1-3^x），即可求當x∈[-3，0）時，f（x）的解析式；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，分類討論，即可解不等式f（x）＜-8x．
（3）當f（x-c）=f（x-c²），有解的條件是x-c=x-c²，且x-c=x-c²∈[-1，1]，可得P∩Q=∅，c的取值范圍．

解答 解：（1）設x∈[-3，0），則-x∈（0，3]，
∵x∈[0，3]時，f（x）=x（1-3^x），
∴f（-x）=-x（1-3^-x），
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=x（1-3^-x）；
（2）x∈[0，3]時，f（x）=x（1-3^x）＜-8x，∴x＞2，∴2＜x≤3；
當x∈[-3，0）時，f（x）=x（1-3^-x）＜-8x，∴x＞2，∴-2＜x＜0；
綜上所述，不等式的解集為{x|-2＜x＜0或2＜x≤3}；
（3）當f（x-c）=f（x-c²），有解的條件是x-c=x-c²，且x-c=x-c²∈[-1，1]，即c（c-1）=0；
∴c=0 或c=1時f（x-c）=f（x-c²），有解；
故c的取值范圍：c≠0且c≠1．

點評 本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的奇偶性，考查學生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．