Question

12．已知f（log_ax）=log_a²x-alog_ax²+4，（a＞0，a≠1）
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若方程f（3^x）=0在（0，1）內(nèi)有兩個不同的根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法直接寫出函數(shù)的解析式即可．
（2）轉(zhuǎn)化方程為二次方程，利用根的分布求解a的范圍．

解答 解：（1）f（log_ax）=log_a²x-alog_ax²+4，（a＞0，a≠1）
y=f（x）的解析式：f（x）=x²-2ax+4，（a＞0，a≠1）
（2）x∈（0，1），令3^x=t∈（1，3），
方程f（3^x）=0，即（3^x）²-2a3^x+4=0．
即t²-2at+4=0在（1，3）內(nèi)有兩個不同的根，
可得：$\left\{\begin{array}{l}1＜a＜3\\{a}^{2}-2{a}^{2}+4＜0\\ 1-2a+4＞0\\ 9-6a+4＞0\end{array}\right.$，
解得：2$＜a＜\frac{13}{6}$．
a的取值范圍：（2，$\frac{13}{6}$）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．