Question

12．直線l與橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，已知向量$\overrightarrow{m}$=（ax₁，by₁），$\overrightarrow{n}$=（ax₂，by₂），若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，且橢圓離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），0為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：△AOB的面積為定值．
（3）若直線l在y軸上截距為1，在y軸上是否存在點(diǎn)P（0，λ）使得以PA，PB為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出λ的取值范圍，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），建立方程組，求得幾何量，從而可得橢圓的方程；
（2）分類討論：①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即x₁=x₂，y₁=-y₂，利用$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，A在橢圓上，可求△AOB的面積；②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，可得△AOB的面積是定值；
（3）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立，由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$求得直線的斜率為0，則A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，只要以PA，PB為鄰邊的平行四邊形存在即可，由此可得λ≠1．

解答 解：（1）∵橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴橢圓的方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，∴$2{{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}=0$，
∵A在橢圓上，∴$\frac{2{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{x}_{1}}^{2}=1$，
則|x₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|y₁|=1，
∴S=$\frac{1}{2}$|x₁||y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，可得（k²+2）x²+2ktx+t²-2=0
△=4k²t²-4（k²+2）（t²-2）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-2kt}{{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$，
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，
∴2x₁x₂+y₁y₂=0，∴2x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
即$（2+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+kt（{x}_{1}+{x}_{2}）+{t}^{2}=0$，
∴2t²-k²=2，
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$|AB|=$\frac{1}{2}×\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}×\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{8{k}^{2}-8{t}^{2}+16}}{{k}^{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
綜上，△AOB的面積是定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（k²+2）x²+2kx-1=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2k}{{k}^{2}+2}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-1}{{k}^{2}+2}$．
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，∴2x₁x₂+y₁y₂=0，
∴2x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，即k=0．
∴A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)點(diǎn)P（0，λ）滿足λ≠1時(shí)，都滿足以PA，PB為鄰邊的平行四邊形是菱形．
∴λ≠1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，是中檔題．