Question

3．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明DE⊥AF，AF⊥CD，得到AF⊥平面CDE，然后證明平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ）延長(zhǎng)EB．DA，設(shè)EB．DA交于一點(diǎn)O，連結(jié)CO．則面EBC∩面DAC=CO，說(shuō)明∠ECD平面BCE與平面ACD所成銳二面角的平面角，在Rt△EDC中求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，
又AF?平面ACD，∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE  
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．
又∵BP?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE      （5分）
（Ⅱ）延長(zhǎng)EB．DA，設(shè)EB．DA交于一點(diǎn)O，連結(jié)CO．則面EBC∩面DAC=CO．

由AB是△EDO的中位線，則DO=2AD．在△OCD中，
∵OD=2AD=2AC，∠ODC=60°．OC⊥CD，又OC⊥DE．
∴OC⊥面ECD．
而CE?面ECD，∴OC⊥CE，∴∠ECD平面BCE與平面ACD所成銳二面角的平面角，
 在Rt△EDC中，∵ED=CD，∴∠ECD=45°，
即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查計(jì)算能力以及邏輯推理能力．