Question

14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知R（x₀，y₀）是橢圓$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{18}$=1上的一點，從原點O向圓R（x-x₀）²+（y-y₀）²=12作兩條切線，分別交橢圓于P，Q兩點．
（1）若R點在第一象限，且直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；
（2）若直線OP，OQ的斜率存在，分別記為k₁，k₂，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質可求出|OR|=2$\sqrt{6}$，又R在橢圓上．列方程組解出R點坐標；
（2）根據(jù)R到OP，OQ的距離為2$\sqrt{3}$得出k₁，k₂為某個一元二次方程的解，根據(jù)距離公式得出這個一元二次方程，結合R為橢圓上的點得出k₁•k₂的值．

解答 解：（1）圓R的半徑r=2$\sqrt{3}$，
∵OP⊥OQ，∴|OR|=$\sqrt{2}$r=2$\sqrt{6}$，∴x₀²+y₀²=24，
又點R在橢圓C上，∴$\frac{{{y_0}^2}}{36}+\frac{{{x_0}^2}}{18}=1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=24}\\{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{36}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{18}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2\sqrt{3}}\\{{y}_{0}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴圓R的方程為 （x-2$\sqrt{3}$）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=12．
（2）直線OP方程為：k₁x-y=0，直線OQ的方程為：k₂x-y=0．
∵OP，OQ為圓R的切線，
∴$\frac{|{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$，$\frac{|{k}_{2}{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}=2\sqrt{3}$．
∴k₁，k₂為方程${（12-{x_0}）^2}{k^2}+2{x_0}{y_0}k+12-{y_0}^2=0$的兩根，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{y_0^2-12}{x_0^2-12}$，
∵點R在橢圓C上，∴$\frac{{{y_0}^2}}{36}+\frac{{{x_0}^2}}{18}=1$，即$y_0^2=36-2x_0^2$，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{24-2x_0^2}{x_0^2-12}=-2$．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系，圓的切線的性質，距離公式的應用，屬于中檔題．