Question

19．已知一圓C的圓心為C（2，-1），且該圓被直線l：x-y-1=0截得的弦長(zhǎng)是2$\sqrt{2}$，求該圓的方程和過(guò)弦兩端點(diǎn)的切線的方程．

Answer 1

分析 設(shè)圓C的方程是（x-2）²+（y+1）²=r²（r＞0），利用圓的半徑、弦心距及弦長(zhǎng)的關(guān)系求得r，則圓的方程可求；畫(huà)出圖形，聯(lián)立直線方程和圓的方程，求出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到過(guò)弦兩端點(diǎn)的切線的方程．

解答 解：設(shè)圓C的方程是（x-2）²+（y+1）²=r²（r＞0），
則弦長(zhǎng)P=2$\sqrt{{r}^{2}-bjdhdh9^{2}}$，
其中d為圓心到直線x-y-1=0的距離，d=$\frac{|2×1+1-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
∴P=2$\sqrt{{r}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=2\sqrt{2}$，則r²=4，
∴圓的方程為（x-2）²+（y+1）²=4；
如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴弦的兩個(gè)端點(diǎn)為（0，-1），（2，1），
由圖可知，過(guò)點(diǎn)（0，-1）的切線方程為x=0；
過(guò)點(diǎn)（2，1）的切線方程為y=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程與圓的切線方程的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．