Question

3．為了響應低碳環(huán)保的社會需求，某自行車租賃公司打算在A市設立自行車租賃點，租車的收費標準是每小時1元（不足1小時的部分按1小時計算）．甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為$\frac{1}{4}、\frac{1}{2}$，一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為$\frac{1}{2}、\frac{1}{4}$，兩人租車時間都不會超過三小時．
（Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費用不相同的概率；
（Ⅱ）設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲、乙兩人所付費用相同即為1，2，3元，求出相應的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；
（Ⅱ）確定變量的取值，求出相應的概率，即可求得ξ的分布列與數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）甲、乙兩人所付費用相同，即為1，2，3元，
都付1元的概率為P（1）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
都付2元的概率為P（2）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$
都付3元的概率為P（3）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$
故所付費用相同的概率為P=P（1）+P（2）+P（3）=$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$
所付費用不相同的概率為1-P=$\frac{11}{16}$
（Ⅱ）依題意，ξ可能取得值為2，3，4，5，6
P（ξ=2）=$\frac{1}{8}$，P（ξ=3）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{5}{16}$
P（ξ=4）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{5}{16}$
P（ξ=5）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{3}{16}$
P（ξ=6）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$
故ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

所求數(shù)學期望Eξ=$2×\frac{1}{8}+3×\frac{5}{16}+4×\frac{5}{16}+5×\frac{3}{16}$$+6×\frac{1}{16}=\frac{15}{4}$

點評 本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題