Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）+f（x）=$\frac{1}{2}$px²-qx，函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸．
（1）試用含有p的式子表示q；
（2）若p≤0，試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)x≠1，h（x）f（x）=x²-4tx+4t²，（其中t為常數(shù)），若t∈（0，$\frac{1}{2}$），函數(shù)h（x）有三個(gè)極值點(diǎn)為a，b，c，且a＜b＜c．證明0＜2a＜b＜1＜c．

Answer 1

分析 （1）由題意化簡(jiǎn)g（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$px²-qx，求導(dǎo)g′（x）=-$\frac{1}{x}$+px-q；從而可得g′（1）=-1+p-q=0，從而解得；
（2）先確定函數(shù)g（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$px²-qx的定義域，再求導(dǎo)g′（x）=-$\frac{1}{x}$+px-q=$\frac{（px+1）（x-1）}{x}$，討論以確定其正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由題意化簡(jiǎn)h（x）=$\frac{{x}^{2}-4tx+4{t}^{2}}{lnx}$，求導(dǎo)h′（x）=$\frac{（x-2t）（2lnx-\frac{x-2t}{x}）}{l{n}^{2}x}$，再令m（x）=2lnx-$\frac{x-2t}{x}$，求導(dǎo)m′（x）=$\frac{2（x-t）}{{x}^{2}}$；從而可判斷0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；從而證明．

解答 解：（1）由已知得g（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$px²-qx，
g′（x）=-$\frac{1}{x}$+px-q，
又∵函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸，
∴g′（1）=-1+p-q=0，
故q=p-1；
（2）由（1）知，g（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$px²-qx的定義域?yàn)椋?，+∞），
g′（x）=-$\frac{1}{x}$+px-q=$\frac{（px+1）（x-1）}{x}$，
①當(dāng)p=0時(shí)，
g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)p=-1時(shí)，g′（x）=-$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≤0，
故g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
③當(dāng)p＜-1時(shí)，g′（x）=$\frac{p（x+\frac{1}{p}）（x-1）}{x}$；
0＜-$\frac{1}{p}$＜1；
故g（x）在（0，-$\frac{1}{p}$），（1，+∞）上是減函數(shù)，在（-$\frac{1}{p}$，1）上是增函數(shù)；
④當(dāng)-1＜p＜0時(shí)，g′（x）=$\frac{p（x+\frac{1}{p}）（x-1）}{x}$；
-$\frac{1}{p}$＞1；
故g（x）在（0，1），（-$\frac{1}{p}$，+∞）上是減函數(shù)，在（1，-$\frac{1}{p}$）上是增函數(shù)；
（3）證明：由題意得，
h（x）=$\frac{{x}^{2}-4tx+4{t}^{2}}{lnx}$，h′（x）=$\frac{（x-2t）（2lnx-\frac{x-2t}{x}）}{l{n}^{2}x}$
令m（x）=2lnx-$\frac{x-2t}{x}$，m′（x）=$\frac{2（x-t）}{{x}^{2}}$；
故m（x）=2lnx-$\frac{x-2t}{x}$在（0，t）上單調(diào)遞減，在（t，+∞）上單調(diào)遞增；
而函數(shù)h（x）有三個(gè)極值點(diǎn)為a，b，c，
則m（x）=2lnx-$\frac{x-2t}{x}$=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不相等相都不等于2t的根，
且h（x）的一個(gè)極值點(diǎn)為2t；
∵t∈（0，$\frac{1}{2}$），m_min（x）=m（t）=2lnt+1＜2ln$\frac{1}{2}$+1＜0；
m（1）=2ln1+2t-1=2t-1＜0；
又∵a＜b＜c，
∴0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；
∴0＜2a＜b＜1＜c．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，難題在于構(gòu)造函數(shù)以使問題簡(jiǎn)化，屬于難題．