Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+4），則實(shí)數(shù)c的值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，把不等式解的問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，利用韋達(dá)定理求解即可．

解答 解：f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），
∴$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$=0，
∴b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∵f（x）＜c的解集為（m，m+4），
∴f（x）-c=0的根為m，m+4，
即x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$-c=0的根為m，m+4，
∵（m+4-m）²=（-a）²-4（$\frac{{a}^{2}}{4}$-c），
∴4c=16，
c=4．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)的最值和不等式和方程根的關(guān)系，韋達(dá)定理的轉(zhuǎn)化．