Question

6．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，滿足c=1，cosBsinC-（a-sinB）cosC=0．
（1）求C的大��；
（2）求a²+b²的最大值，并求取得最大值時角A，B的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦函數(shù)和誘導公式化簡，結(jié)合正弦定理和同角的商數(shù)關(guān)系，即可求得C；
（2）由余弦定理以及基本不等式求解，最值即可求得．

解答 解：（1）cosBsinC-（a-sinB）cosC=0，
即有sinBcosC+cosBsinC=acosC，
即sin（B+C）=acosC，
即sinA=acosC．
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{cosC}$，
由于c=1，則sinC=cosC，
即tanC=1，C是三角形內(nèi)角，
∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
得1=a²+b²-$\sqrt{2}$ab，
又ab≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，
∴（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（a²+b²）≤1，
即a²+b²≤2+$\sqrt{2}$．
當且僅當a=b即A=B=$\frac{3π}{8}$時，a²+b²取到最大值為2+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角形的最值，余弦定理的應用，正弦定理的應用，考查計算能力．