Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）是定義域為R的可導函數(shù)，e是自然數(shù)的底數(shù)，且xf′（x）lnx＞f（x），則（　�。�

• A． f（2015）＜[f（2015e）-f（2015）]ln2015
• B． f（2015）＞[f（2015e）-f（2015）]ln2015
• C． f（2015）＜[ef（2015）-f（2015）]ln2015
• D． f（2015）＞[ef（2015）-f（2015）]ln2015

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，利用導數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得g（2015）與g（2015e）的大小關(guān)系，整理即可得到答案．

解答 解：∵xf′（x）lnx＞f（x），
∴xf′（x）lnx-f（x）＞0，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）lnx-f（x）}{x（lnx）^{2}}$＞0恒成立，
∴g（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
∴g（2015）＜g（2015e），
∴$\frac{f（2015）}{ln2015}$＜$\frac{f（2015e）}{ln2015e}$=$\frac{f（2015e）}{1+ln2015}$，
∴f（2015）+f（2015）ln2015＜f（2015e）ln2015，
∴f（2015）＜[f（2015e）-f（2015）]ln2015，
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)的運算及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項及已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．