Question

18．函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-3x+3}$達到最大值時，x的值是（　�。�

• A． 5+9$\sqrt{3}$
• B． 9+5$\sqrt{3}$
• C． 5$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$+5$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 原式可化為$y=\sqrt{（x+1）^{2}+（0-1）^{2}}-\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+（{0-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$，該式表示的是x軸上的點P（x，0）到定點A（-1，1）與點B（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距離之差，當P，A，B三點共線時可得所求的最大值．然后直線AB與x軸的交點即為所求．

解答 解：由題意得$y=\sqrt{（x+1）^{2}+（0-1）^{2}}-\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+（{0-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$，
該式表示的是x軸上的點P（x，0）到定點A（-1，1）與點B（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距離之差，在坐標系內(nèi)作出這幾個點可知：

當P，A，B三點共線時可得所求的最大值．然后直線AB與x軸的交點即為所求．
如圖設(shè)P（x，0），則$\overrightarrow{AB}=（\frac{5}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}-1）$，$\overrightarrow{PA}=（-1-x，1）$．
由題意$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{PA}$，所以$\frac{5}{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}-1）（-1-x）=0$．
解得x=9+5$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了利用函數(shù)幾何意義求最值的問題，關(guān)鍵在于準確理解有關(guān)距離、斜率、夾角等的表達形式，從而求解．