Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{x+lnx-a}$，若存在x∈[1，e]，使f（f（x））=x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e+1-e²，0]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[1，e]．由y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，得到函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[1，e]．因此，將方程$\sqrt{x+lnx-a}$=x，化簡(jiǎn)整理得x+lnx-x²=a，記F（x）=x+lnx-x²，G（x）=a，求出F（x）=x+lnx-x²在[1，e]內(nèi)的值域，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b），
其中f^-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)
因此命題“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為
“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，
且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[1，e]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象的交點(diǎn)必定在直線(xiàn)y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[1，e]，
根據(jù)$\sqrt{x+lnx-a}$=x，化簡(jiǎn)整理得x+lnx-x²=a．
記F（x）=x+lnx-x²，G（x）=a，
由x∈[1，e]，F(xiàn)′（x）=1+$\frac{1}{x}$-2x=$\frac{（-2x-1）（x-1）}{x}$，
當(dāng)x＞1可得F′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1可得F′（x）＞0，
則x=1處F（x）取得最大值0，x=e處取得最小值e+1-e²．
可得F（x）∈[e+1-e²，0]，即e+1-e²≤a≤0．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[e+1-e²，0]．
故答案為：[e+1-e²，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有根號(hào)與指數(shù)式的基本初等函數(shù)，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象特征等知識(shí)，屬于中檔題．