Question

10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知4asin²$\frac{B}{2}$=b+2a-2c．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{6}$，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （I）由sin²$\frac{B}{2}$=$\frac{1-cosB}{2}$，4asin²$\frac{B}{2}$=b+2a-2c．可得：2a-2acosB=b+2a-2c．化簡再利用余弦定理即可得出．
（II）由a=$\sqrt{6}$及（I）可得：b²+c²-bc=6，又S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA，可得$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，解得b，c．

解答 解：（I）在△ABC中，∵sin²$\frac{B}{2}$=$\frac{1-cosB}{2}$，4asin²$\frac{B}{2}$=b+2a-2c．
∴2a-2acosB=b+2a-2c．化為2acosB=2c-b，
∴$2a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=2c-b，化為：a²=b²+c²-bc，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）由a=$\sqrt{6}$及（I）可得：b²+c²-bc=6，又S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，化為bc=4．
解得b=$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{2}$或b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了余弦定理、倍角公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．