Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（3，4），B（5，-12），O為坐標(biāo)原點，∠AOB的平分線交線段AB于點D，則點D的坐標(biāo)為（$\frac{32}{9}，-\frac{4}{9}$）．

Answer 1

分析 先求出AO，BO直線的斜率，利用夾角公式求出DO的斜率，設(shè)出DO的直線方程與AB直線方程求解，得到D坐標(biāo)．

解答 解：已知A（3，4），B（5，-12），O為坐標(biāo)原點，AB的直線方程為：8x+y-28=0
∴k${\;}_{OA}=\frac{4}{3}$，${k}_{OB}=-\frac{12}{5}$，
設(shè)DO的直線方程斜率為k_OD
∵點D在∠AOB的平分線上，
∴∠AOD=∠DOB
利用夾角公式，可得：$|\frac{{k}_{OD}-{k}_{OB}}{1+{k}_{OD}{k}_{OB}}|=|\frac{{k}_{OA}-{k}_{OD}}{1+{k}_{OD}{k}_{OD}}|$
⇒$|\frac{{k}_{OD+\frac{12}{5}}}{1-\frac{12}{5}{k}_{OD}}|=|\frac{\frac{4}{3}-{k}_{OD}}{1+\frac{4}{3}{k}_{OD}}|$
解得：${k}_{OD}=-\frac{1}{8}$
那么：DO的直線方程為：y=$-\frac{1}{8}x$
D是直線AB與OD的交點：
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}}\\{8x+y-28=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{32}{9}}\\{y=-\frac{4}{9}}\end{array}\right.$
故答案為：$（\frac{32}{9}，-\frac{4}{9}）$．

點評 本題考查了直線方程的求法及交點，直線的斜率，夾角問題，屬于基礎(chǔ)題．