Question

8．在空間直角坐標(biāo)系中，對其中任何一向量$\overrightarrow{X}$=（x₁，x₂，x₃），定義范數(shù)||$\overrightarrow{X}$||，它滿足以下性質(zhì)：
（1）||$\overrightarrow{X}$||≥0，當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{X}$為零向量時，不等式取等號；
（2）對任意的實數(shù)λ，||λ$\overrightarrow{X}$||=|λ|•||$\overrightarrow{X}$||（注：此處點乘號為普通的乘號）．
（3）||$\overrightarrow{X}$||+||$\overrightarrow{Y}$||≥||$\overrightarrow{X}$+$\overrightarrow{Y}$||．
試求解以下問題：
在平面直角坐標(biāo)系中，有向量$\overrightarrow{X}$=（x₁，x₂），下面給出的幾個表達(dá)式中，可能表示向量$\overrightarrow{X}$的范數(shù)的是④．（把所有正確答案的序號都填上）
①$\sqrt{x_1^2}+2x_2^2$②$\sqrt{2x_1^2-x_2^2}$③$\sqrt{x_1^2+x_2^2+2}$④$\sqrt{x_1^2+x_2^2}$．

Answer 1

分析 逐個驗證各式是否符合三個條件即可得出答案．

解答 解：對于①，∵λ$\overrightarrow{X}$=（λx₁，λx₂），則||$λ\overrightarrow{X}$||=$\sqrt{{λ}^{2}{{x}_{1}}^{2}}$+2λ²x₂²，而|λ|||$\overrightarrow{X}$||=|λ|$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}}$+|λ|x₂²，
∴||λ$\overrightarrow{X}$||≠|(zhì)λ|•||$\overrightarrow{X}$||，不符合條件（2）；
對于②，令||$\overrightarrow{X}$||=0得2x₁²-x₂²=0，故當(dāng)x₂=±$\sqrt{2}$x₁時，||$\overrightarrow{X}$||=0，不符合條件（1）；
對于③，當(dāng)$\overrightarrow{X}$=（0，0）時，||$\overrightarrow{X}$||=$\sqrt{2}$≠0，不符合條件（1）；
對于④，∵|||$\overrightarrow{X}$||=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}$≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=0時取等號，故符合條件（1），
||λ$\overrightarrow{X}$||=$\sqrt{{λ}^{2}{{x}_{1}}^{2}+{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=|λ|$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}$，故符合條件（2），
設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{X}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{Y}$=（x₃，x₄），$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}$，則||$\overrightarrow{X}$||=|OA|，||$\overrightarrow{Y}$||=|OB|，|$\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}$|=|OC|，
在平行四邊形OACB中，∵|AC|=|OB|，|OA|+|AC|＞|OC|，
∴||$\overrightarrow{X}$||+||$\overrightarrow{Y}$||≥||$\overrightarrow{X}$+$\overrightarrow{Y}$||，故符合條件（3）．
故答案為④．

點評 本題考查了平面向量的幾何意義，坐標(biāo)運算，屬于中檔題．