Question

8．2015年3月22日，長沙某協(xié)會在保護湘江，愛我母親河“活動中共計放生了青魚、草魚、鯽魚數(shù)百萬尾．
（1）若這些魚中三種魚所占比例一樣，現(xiàn)從中抽取5尾檢查魚的健康狀況，求其中青魚的尾數(shù)x的分布列及其數(shù)學期望；
（2）在放生前有人發(fā)現(xiàn)數(shù)百尾魚不合格，若從不合格的魚中任意抽取1尾，得到青魚的概率是$\frac{3}{8}$，任意依次抽取2尾魚，沒有鯽魚的概率為$\frac{1}{4}$，求證：任意依次抽取2尾魚，至少一尾青魚的概率不大于$\frac{11}{16}$，并指出不合格的魚中哪種魚最多．

Answer 1

分析 （1）由意得X的可能取值為0，1，2，3，4，5，且X～B（5，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的分布列和EX．
（2）由已知得不合格的魚青魚的概率是$\frac{3}{8}$，由此能證明任意依次抽取2尾魚，至少一尾青魚的概率不大于$\frac{11}{16}$．設不合格的魚中鯽魚的概率是x，由題意（1-x）（1-x）=$\frac{1}{4}$，從而求出不合格的魚中鯽魚最多．

解答 （1）解：由意得X的可能取值為0，1，2，3，4，5，且X～B（5，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=${C}_{5}^{0}（\frac{2}{3}）^{5}$=$\frac{32}{243}$，
P（X=1）=${C}_{5}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{80}{243}$，
P（X=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{80}{243}$，
P（X=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{40}{243}$，
P（X=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}（\frac{2}{3}）$=$\frac{10}{243}$，
P（X=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{3}）^{5}$=$\frac{1}{243}$．
X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

EX=5×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$．
（2）證明：∵從不合格的魚中任意抽取1尾，得到青魚的概率是$\frac{3}{8}$，
∴不合格的魚青魚的概率是$\frac{3}{8}$，
∴任意依次抽取2尾魚，至少一尾青魚的概率：
p=1-$（1-\frac{3}{8}）（1-\frac{3}{8}）$=1-$\frac{25}{64}$=$\frac{39}{64}$$＜\frac{11}{16}$．
∴任意依次抽取2尾魚，至少一尾青魚的概率不大于$\frac{11}{16}$．
設不合格的魚中鯽魚的概率是x，
∵任意依次抽取2尾魚，沒有鯽魚的概率為$\frac{1}{4}$，
∴（1-x）（1-x）=$\frac{1}{4}$，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴不合格的魚中鯽魚的概率是$\frac{1}{2}$，草魚的概率是$1-\frac{3}{8}-\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
∴不合格的魚中鯽魚最多．

點評 本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．