Question

12．已知函數(shù)f（x）=lg（x+b），且點（-1，-9）關(guān)于直線y=-x的對稱點在函數(shù)f（x）圖象上．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點（-1，-9）關(guān)于直線y=-x的對稱點（9，1）代入，可得實數(shù)b的值；
（2）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，則$\left\{\begin{array}{l}1＜\frac{2-2x}{x+1}＜10\\ 1-2x＞-1\\ x＞-1\end{array}\right.$，解得x的取值范圍．

解答 解：（1）點（-1，-9）關(guān)于直線y=-x的對稱點為（9，1）點，
將（9，1）代入f（x）=lg（x+b），得lg（9+b）=1，
解得：b=1，
（2）由（1）得f（x）=lg（x+1），
若0＜f（1-2x）-f（x）＜1
則0＜lg（2-2x）-lg（x+1）＜1，
則0＜lg$\frac{2-2x}{x+1}$＜1，
則$\left\{\begin{array}{l}1＜\frac{2-2x}{x+1}＜10\\ 1-2x＞-1\\ x＞-1\end{array}\right.$，
解得：x∈（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不等式的解法，難度中檔．