Question

10．已知曲線4x²-m²y²=1（m＞0）的一個頂點到它的一條漸近線的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則雙曲線的焦距為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 將雙曲線的方程化為標準方程，求得a，b，可得頂點坐標和漸近線方程，運用點到直線的距離公式，計算可得m=1，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，計算即可得到雙曲線的焦距．

解答 解：雙曲線4x²-m²y²=1（m＞0）即為
$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{{m}^{2}}}$=1，可得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{m}$，
可得一頂點為（$\frac{1}{2}$，0），
一條漸近線方程為y=$\frac{2}{m}$x，即為2x-my=0，
由題意可得d=$\frac{2×\frac{1}{2}}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得m=1，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
可得雙曲線的焦距為2c=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的焦距的求法，注意運用點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．