Question

5．已知點(diǎn)P是圓x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，則|$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PC}$|的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PC}$用向量$\overrightarrow{PO}$與$\overrightarrow{OB}$表示，然后利用向量模的運(yùn)算性質(zhì)求得|$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PC}$|的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∴AC為△ABC外接圓直徑，
如圖，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，
則$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}$=$3\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}$，
∵P是圓x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，
∴$|\overrightarrow{PO}|=2$，
∴|$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PC}$|=$|3\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}|≥3|\overrightarrow{PO}|-|\overrightarrow{OB}|=5$．
當(dāng)$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OB}$共線時(shí)，取得最小值5．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．