Question

18．已知圓心在直線y=$\frac{5}{4}$x上的圓C與x軸相切，與y軸正半軸交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在N的下方），且|MN|=3．
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M任作一條直線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN、BN的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓的半徑為r，設(shè)圓心坐標(biāo)為（4a，5a），a＞0，根據(jù)|MN|=3，可得r²=（$\frac{3}{2}$）²+（4a）²=（5a）²，解得a，求出圓心和r，即可確定出圓C的方程；
（2）把x=0代入圓方程求出y的值，確定出M與N坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，不符合題意；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+1，與橢圓方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)直線AB交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，x₁x₂，進(jìn)而表示出直線AN與直線BN斜率之和為0，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），
依題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為（4a，5a），a＞0，
∵|MN|=3，
∴r²=（$\frac{3}{2}$）²+（4a）²=（5a）²，
解得a=$\frac{1}{2}$，即有圓心為（2，$\frac{5}{2}$），r=$\frac{5}{2}$，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-$\frac{5}{2}$）²=$\frac{25}{4}$；
（2）把x=0代入方程（x-2）²+（y-$\frac{5}{2}$）²=$\frac{25}{4}$，
解得：y=1，或y=4，即M（0，1），N（0，4），
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，不滿足題意；
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+1，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，
消去y得：（2k²+1）x²+4kx-6=0，
設(shè)直線AB交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$，
∵y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}-3}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}-3}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵2kx₁x₂-3（x₁+x₂）=2k•（-$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$）-3•（-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$）=0，
∴k₁+k₂=0．

點(diǎn)評(píng) 此題考查直線與圓方程的應(yīng)用，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意運(yùn)用聯(lián)立方程，以及韋達(dá)定理是解本題的關(guān)鍵．