Question

10．如圖，多面體ABCDPE的底面ABCD是平行四邊形，AD=AB=2，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AD}$=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．
（1）若棱AP的中點為H，證明：HE∥平面ABCD；
（2）求二面角A-PB-E的大�。�

Answer 1

分析 （1）取AD的中點G，連接HE，HG，GC，證明四邊形EHGC是平行四邊形，推出HE∥GC，即可證明HE∥平面ABCD．
（2）法一：如圖，取PB的中點M，連接AC，DB交于點F，連接ME，MF，作FK⊥PB于點K，∠AKF是二面角A-PB-D的平面角，通過Rt△PDB～Rt△FKB，求出$∠AKF=\frac{π}{3}$，得到二面角A-PB-E的大小就是二面角A-PB-D的大小與直二面角D-PB-E的大小之和，求解二面角A-PB-E的大小．
法二：DA，DC，DP兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示，設(shè)PA的中點為N，連接DN，求出平面PAB的一個法向量，平面PBE的法向量，通過向量的數(shù)量積求解，二面角A-PB-E的大�。�

解答 （本小題滿分12分

解：（1）∵底面ABCD是平行四邊形，AD=AB=2，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，
∴底面ABCD是邊長為2的正方形，取AD的中點G，
連接HE，HG，GC，根據(jù)題意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，
則四邊形EHGC是平行四邊形，…（3分）
所以HE∥GC，HE?平面ABCD，GC?平面ABCD，
故HE∥平面ABCD…（5分）
（2）法一：如圖，
取PB的中點M，連接AC，DB交于點F，連接ME，MF，
作FK⊥PB于點K，容易得到∠AKF是二面角A-PB-D的平面角，…（7分）
$AF=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，Rt△PDB～Rt△FKB，易得$FK=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
從而$tan∠AKF=\frac{AF}{KF}=\sqrt{3}$，所以$∠AKF=\frac{π}{3}$…（8分）
由于點M是PB的中點，所以MF是△PDB的中位線，MF∥PD，且$MF=\frac{1}{2}PD$，
MF=EC，且MF∥EC，故四邊形MFCE是平行四邊形，則ME∥AC，
又AC⊥平面PDB，則ME⊥平面PDB，ME?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PDB，
所以二面角A-PB-E的大小就是二面角A-PB-D的大小與直二面角D-PB-E的大小之和…（11分）
故二面角A-PB-E的大小為$\frac{π}{3}+\frac{π}{2}=\frac{5π}{6}$…（12分）
法二：由（1）知，DA，DC，DP兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示，
設(shè)PA的中點為N，連接DN，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），P（0，0，2），N（1，0，1），易知DN⊥PA，DN⊥AB，所以DN⊥平面PAB，
所以平面PAB的一個法向量為$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow n=（1，0，1）$…（7分）
設(shè)平面PBE的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，因為$\overrightarrow{BE}=（-2，01）$，$\overrightarrow{BP}=（-2，-2，2）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{BE}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BP}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}2x=z\\ x+y=z\end{array}\right.$，取z=2，則x=1，y=1，
所以$\overrightarrow m=（1，1，2）$為平面PBE的一個法向量．   （9分）
所以$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{3}{{\sqrt{2}×\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
從圖形可知，二面角A-PB-E是鈍角，所以二面角A-PB-E的大小為$\frac{5π}{6}$…（12分

點評 本題考查二面角的平面鏡的求法，直線與平面平行于垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．