Question

6．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F(xiàn)是線段B₁D₁上的兩個動點，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則下列結(jié)論中錯誤的是（　�。�

• A． AC⊥BF
• B． 三棱錐A-BEF的體積為定值
• C． EF∥平面ABCD
• D． 面直線AE、BF所成的角為定值

Answer 1

分析 在A中，由AC⊥BD，AC⊥BB₁，得AC⊥平面BDD₁B₁，從而AC⊥BF；在B中，A到平面BEF的距離不變，△BEF的面積不變，從而三棱錐A-BEF的體積為定值；在C中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在D中，異面直線AE、BF所成的角不為定值．

解答 解：在A中，∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F(xiàn)是線段B₁D₁上的兩個動點，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∵BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BDD₁B₁，
∵BF?平面BDD₁B₁，∴AC⊥BF，故A正確；
在B中，∵AC⊥平面BDD₁B₁，∴A到平面BEF的距離不變，
∵EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，B到EF的距離為1，∴△BEF的面積不變，
∴三棱錐A-BEF的體積為定值，故B正確；
在C中，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正確；
在D中，異面直線AE、BF所成的角不為定值，由圖知，當F與B1重合時，令上底面頂點為O，
則此時兩異面直線所成的角是∠A₁AO，當E與D₁重合時，此時點F與O重合，則兩異面直線所成的角是OBC₁，
此二角不相等，故異面直線AE、BF所成的角不為定值．故D錯誤．
故選：D．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．