Question

5．如圖，已知拋物線C：y²=4x，點(diǎn)P（a，0），其中a＜0，過點(diǎn)P作直線l₁：x=my+a，與C交于不同的兩點(diǎn)A，B
（1）若a=-2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍
（2）記直線l₂：x=my-a，以線段AB為其中一邊作一矩形，且另一邊在直線l₂上，若該矩形的面積記為S，點(diǎn)P與線段AB中點(diǎn)的距離記為d，求$\frac0casscy{S}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）直線l₁：x=my+a代入拋物線C：y²=4x，求出|AB|，d，表示出$\fracm8mu24k{S}$，換元，利用基本不等式，即可求$\fracsm2m4qs{S}$的取值范圍．

解答 解：（1）若a=-2，則直線l₁：x=my-2，
代入拋物線C：y²=4x，整理可得y²-4my+8=0，
∴△=16m²-32＞0，
∴m＜-$\sqrt{2}$或m$＞\sqrt{2}$；
（2）直線l₁：x=my+a代入拋物線C：y²=4x，整理可得y²-4my-4a=0，
∴△=16m²+16a＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2a=4m²+2a，x₁x₂=a²，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，則Q（2m²+a，2m），
∴d=$\sqrt{[a-（2{m}^{2}+a）]^{2}+（0-2m）^{2}}$=|2m|•m$\sqrt{{m}^{2}+1}$，|AB|=4$\sqrt{（{m}^{2}+1）（{m}^{2}+a）}$．
∵直線l₁與l₂的距離=$\frac{|2a|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴S=|AB|•$\frac{|2a|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=8|a|$\sqrt{{m}^{2}+a}$，
∴$\fracmaksyoi{S}$=$\frac{1}{4|a|}$•$\sqrt{\frac{{m}^{2}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+a}}$，
令m²+a=t（t＞0），∴m²=t-a，
∴$\fracyie42ye{S}$=$\frac{1}{4|a|}\sqrt{t+\frac{（a-1）a}{t}+1-2a}$，
∵a＜0，
∴（a-1）a＞0，
∴$\frac2wmegym{S}$=$\frac{1}{4|a|}\sqrt{t+\frac{（a-1）a}{t}+1-2a}$≥-$\frac{1}{4a}\sqrt{2\sqrt{（a-1）a}+1-2a}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{（a-1）a}$時(shí)，等號(hào)處理，
∴$\frac6wke24y{S}$的取值范圍是[-$\frac{1}{4a}\sqrt{2\sqrt{（a-1）a}+1-2a}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查矩形的面積，考查基本不等式的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．