Question

20．已知曲線C的方程kx²-（4-k）y²=k-1
（1）若曲線C是雙曲線，且一條漸進(jìn)線是y=$\sqrt{3}$x求雙曲線方程；
（2）當(dāng)k=-2時(shí)，在曲線C上是否存在關(guān)于直線l：y=x+m對(duì)稱的兩P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）若存在求m的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=0或k=1或k=4時(shí)，C表示直線；當(dāng)k≠0且k≠-1且k≠4時(shí)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{k-1}{k}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{k-1}{4-k}}=1$，由此能求出曲線C是雙曲線，且一條漸進(jìn)線是y=$\sqrt{3}$x的雙曲線方程；
（2）當(dāng)k=-2時(shí)，曲線C的方程為$\frac{2{x}^{2}}{3}+2{y}^{2}=1$．設(shè)曲線C上存在關(guān)于直線l：y=x+m對(duì)稱的兩P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再設(shè)P、Q的中點(diǎn)是M（x₀，y₀），由點(diǎn)差法結(jié)合PQ中點(diǎn)M在直線l上求出M的坐標(biāo)，再由點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部求得m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)k=0或k=4或k=1時(shí)，C表示直線；
當(dāng)k≠0且k≠1且k≠4時(shí)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{k-1}{k}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{k-1}{4-k}}=1$，①
方程①表示雙曲線，且一條漸進(jìn)線是y=$\sqrt{3}$x，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k-1}{k}＞0}\\{\frac{k-1}{4-k}＞0}\\{\frac{k}{4-k}=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k-1}{4-k}＜0}\\{\frac{k-1}{k}＜0}\\{\frac{k}{4-k}=3}\end{array}\right.$．
解得：k=3．
∴雙曲線方程為$\frac{3{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）當(dāng)k=-2時(shí)，曲線C的方程為$\frac{2{x}^{2}}{3}+2{y}^{2}=1$．
設(shè)曲線C上存在關(guān)于直線l：y=x+m對(duì)稱的兩P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
再設(shè)P、Q的中點(diǎn)是M（x₀，y₀），
則$\frac{2{{x}_{1}}^{2}}{3}+2{{y}_{1}}^{2}=1$，$\frac{2{{x}_{2}}^{2}}{3}+2{{y}_{2}}^{2}=1$，
兩式作差可得x₀=3y₀，
又M（x₀，y₀）在直線l上，∴y₀=x₀+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3{y}_{0}}\\{{y}_{0}={x}_{0}+m}\end{array}\right.$，解得M（$-\frac{3m}{2}，-\frac{m}{2}$），
由M在橢圓$\frac{2{x}^{2}}{3}+2{y}^{2}=1$內(nèi)部．
可得$\frac{2（-\frac{3m}{2}）^{2}}{3}+2（-\frac{m}{2}）^{2}＜1$，
解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}＜m＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴曲線C上是存在關(guān)于直線l：y=x+m對(duì)稱的兩P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
此時(shí)m的取值范圍是（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．