Question

2．有一塊長為8米，寬為5米的長方形鋼板．
（1）現(xiàn)對其進(jìn)行切割，焊接成一個(gè)長方體形水箱（無蓋），
①從四個(gè)角處切去全等的小正方形，邊長為x，
求水箱容積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式V=f（x）及最大容積值；
②由于上述切割存在浪費(fèi)，如果將切割下的小鋼片重新焊接能夠做成
水箱上蓋，請你求出水箱容積的最大值；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）
（2）若不許材料浪費(fèi)，則所做成的長方體水箱（無蓋）的表面積是40，你能猜測出理論上最理想的焊接設(shè)計(jì)模型是怎樣的，才能使容積達(dá)到最大嗎？（給出焊接模型即可）

Answer 1

分析 （1）①利用長方體的體積公式，可得水箱容積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式V=f（x），利用導(dǎo)數(shù)求出最大容積值；
②由①可知，f（x）在[$\frac{20}{13}$，$\frac{5}{2}$）上為減函數(shù)，即可求出水箱容積的最大值；
（2）設(shè)長方體的長寬高分別為a，b，c，由題知ab+2ac+2bc=40，由均值定理得水箱容積的最大值．

解答 解：（1）①由題意知，水箱的底邊兩邊長分別為8-2x米、5-2x米，高為x米
∴容積V=（8-2x）（5-2x）x，依題應(yīng)有8-2x＞0，5-2x＞0．x＞0，∴0＜x＜$\frac{5}{2}$
∴f（x）=（8-2x）（5-2x）x，定義域?yàn)椋?，$\frac{5}{2}$）      …（2分）
f′（x）=12x²-52x+40=4（x-1）（3x-10），
令f′（x）=0解得x=1 （x=$\frac{10}{3}$舍去）
0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；1＜x＜$\frac{5}{2}$時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，$\frac{5}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_max=f（1）=18（平方米）         …（6分）
②由題知，4x²≥（8-2x）（5-2x），解得x≥$\frac{20}{13}$，即f（x）=（8-2x）（5-2x）x，定義域?yàn)閇$\frac{20}{13}$，$\frac{5}{2}$）
由①可知，f（x）在[$\frac{20}{13}$，$\frac{5}{2}$）上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=$\frac{20}{13}$時(shí)，f（x）_max=$\frac{17000}{133}$ （平方米）≈7.74（平方米）    …（10分）
（2）設(shè)長方體的長寬高分別為a，b，c，由題知ab+2ac+2bc=40
由均值定理得，40≥$3\root{3}{4{a}^{2}^{2}{c}^{2}}$⇒V₄=abc≤$\frac{40\sqrt{30}}{9}$≈24.343
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2c時(shí)取等號(hào)，這時(shí)底面為正方形
∴理論上最理想的焊接設(shè)計(jì)是正四棱柱，此時(shí)容積最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間的最值以及均值定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的實(shí)際操作能力，確定函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵．