Question

12．關(guān)于函數(shù)f（x）=2（sinx-cos x）cos x的四個(gè)結(jié)論：
①最大值為$\sqrt{2}$；
②把函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin2x-1的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后可得到函數(shù)f（x）=2（sinx-cosx）cos x的圖象；
③單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+$\frac{7π}{8}$，kπ+$\frac{11π}{8}$]（k∈Z）；
④圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{k}{2}$π+$\frac{π}{8}$，-1）（k∈Z）．
其中正確的結(jié)論有③④．（將你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的最值判斷①的正誤；利用三角函數(shù)的圖象的平移判斷②的正誤；求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間判斷③的正誤；求出函數(shù)的對(duì)稱中心判斷④的正誤．

解答 解：對(duì)于①，因?yàn)閒（x）=2sinxcosx-2cos²x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，所以最大值為$\sqrt{2}$-1，故①錯(cuò)誤．
對(duì)于②，將f（x）=$\sqrt{2}$sin2x-1的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后得到f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$）-1的圖象，而函數(shù)f（x）=2（sinx-cosx）cosx=sin2x-cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1．
故②錯(cuò)誤．
對(duì)于③，由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z，即增區(qū)間為[kπ+$\frac{7π}{8}$，kπ+$\frac{11π}{8}$（k∈Z），故③正確．
對(duì)于④，由2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為（$\frac{k}{2}$π+$\frac{π}{8}$，-1）（k∈Z）．故④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象的平移，三角函數(shù)的對(duì)稱中心，是中檔題．